Principe de Hasse pour les surfaces de del Pezzo de degré 4 - Thèses du Laboratoire de Mathématiques d'Orsay Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2005

Principe de Hasse pour les surfaces de del Pezzo de degré 4

Principe de Hasse pour les surfaces de del Pezzo de degré 4

Résumé

This thesis is concerned with the arithmetic of surfaces endowed with a pencil of curves of genus $1$, of del Pezzo surfaces of degree $4$, and of intersections of two quadrics in $\mathbf{P}^n_k$. In the first two chapters, we develop the technique introduced by Swinnerton-Dyer in 1993, and refined by Colliot-Thélène, Skorobogatov and Swinnerton-Dyer in 1998, for studying rational points on surfaces endowed with a pencil of curves of genus $1$. The third chapter, which builds upon the second one, is devoted to del Pezzo surfaces of degree $4$ and intersections of two quadrics in $\mathbf{P}^n_k$. Let $k$ be a number field and $X$ be a smooth intersection of two quadrics in $\mathbf{P}^n_k$. The Hasse principle is said to hold for $X$ if the existence of a $k_v$-point on $X$ for every place $v$ of $k$ is enough to imply the existence of a $k$-point on $X$. Colliot-Thélène and Sansuc conjectured that (i) the Hasse principle holds for $X$ if $n\geq 5$; (ii) the Hasse principle holds for $X$ if $n=4$ and $\mathrm{Br}(X)/\mathrm{Br}(k)=0$. The goal of the third chapter is to establish conjecture (i) as well as a large part of conjecture (ii), assuming Schinzel's hypothesis and the finiteness of Tate-Shafarevich groups of elliptic curves over number fields.
Cette thèse porte sur l'arithmétique des surfaces munies d'un pinceau de courbes de genre $1$, des surfaces de del Pezzo de degré $4$ et des intersections de deux quadriques dans $\mathbf{P}^n_k$. Dans les deux premiers chapitres, nous développons la technique introduite par Swinnerton-Dyer en 1993 et raffinée par Colliot-Thélène, Skorobogatov et Swinnerton-Dyer en 1998 permettant d'étudier les points rationnels des surfaces munies d'un pinceau de courbes de genre $1$. Le troisième chapitre, qui repose sur le second, est consacré aux surfaces de del Pezzo de degré $4$ et aux intersections de deux quadriques dans $\mathbf{P}^n_k$. Soient $k$ un corps de nombres et $X$ une intersection lisse de deux quadriques dans $\mathbf{P}^n_k$. On dit que $X$ satisfait au principe de Hasse si l'existence d'un $k_v$-point de $X$ pour toute place $v$ de $k$ suffit à assurer l'existence d'un $k$-point de $X$. Colliot-Thélène et Sansuc ont conjecturé que (i) $X$ satisfait au principe de Hasse si $n\geq 5$; (ii) $X$ satisfait au principe de Hasse si $n=4$ et $\mathrm{Br}(X)/\mathrm{Br}(k)=0$. Le but du troisième chapitre est de démontrer la conjecture (i), ainsi qu'une grande partie de la conjecture (ii), en admettant l'hypothèse de Schinzel et la finitude des groupes de Tate-Shafarevich des courbes elliptiques sur les corps de nombres.
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tel-02373511 , version 1 (21-11-2019)

Identifiants

  • HAL Id : tel-02373511 , version 1

Citer

Olivier Wittenberg. Principe de Hasse pour les surfaces de del Pezzo de degré 4. Théorie des nombres [math.NT]. Université Paris-Sud XI, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-02373511⟩
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